На главную » Физика » Что такое "Задача о колебаниях"? Теория малых колебаний системы.
0

Что такое "Задача о колебаниях"? Теория малых колебаний системы.

0
Наиболее важными из специальных проблем динамики являются: задача о колебаниях, вопросы устойчивости движения и задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку. Эта проблема выдвинута развитием современной техники (увеличение быстроходности машин, колоссальный рост авиации, развитие транспорта).

Теория малых колебаний системы относительно положения устойчивого равновесия была разработана Лагранжем. Дальнейшие исследования свободных и вынужденных колебаний производились Лапласом, Фурье, Якоби, Леверье, Пуассоном и другими. В 1855 году вышло классическое сочинение Редтенбахера (1809-67 годы). В этом сочинении, по-видимому, впервые было обращено внимание на важность явления резонанса в технике, и теория колебаний была применена к технической задаче о колебаниях паровоза.

Вопрос о влиянии на свободные и вынужденные колебания системы сил сопротивления в общем виде был рассмотрен Релеем. В его сочинении классическая теория малых колебаний представлена уже в виде завершенной дисциплины. Поскольку силы сопротивления обусловлены сопротивлениями среды, а также и, главным образом, силами внутреннего сопротивления в материале колеблющихся тел, то удовлетворительного разрешения этих вопросов можно ожидать лишь при дальнейшем развитии наших экспериментальных и теоретических знаний о механизме сил сопротивления и физике материалов.

Экспериментальное изучение колебаний в машинах и сооружениях представляет в настоящее время весьма обширную и быстро развивающуюся область науки о колебаниях. Приборы, служащие для измерения и записи колебаний, весьма разнообразны и многочисленны. Применяются не только механические (виброграф, торснограф и прочие), но и оптические, электрические, фотоэлектрические, радиотехнические и другие методы регистрации, обнаружения и усиления колебаний.

Говоря о теории малых колебаний, нельзя не упомянуть о тех методах упрощения расчета колебательных процессов, которые (в связи с вопросами распространения электромагнитных колебаний и другими задачами математической физики) были введены (1893-94 годы) в науку Хевисайдом и разработаны рядом математиков под именем операционного или символического исчисления.
Эти методы сводят задачу расчета колебаний к некоторым простым алгебраическим операциям. Особенно удобно их применять при расчете колебаний под действием импульсивных сил.

Теория конечных (не весьма малых) колебаний системы представляет значительно большие трудности и не только не может считаться в какой-либо мере завершенной главой механики. Но наоборот, представляет одну из наиболее актуальных ее проблем. Основные свойства малых колебаний, то есть изохронность колебаний, возможность представить колебательный процесс в случае действия периодической возмущающей силы как наложение вынужденных и свободных колебаний.

Принцип суперпозиции вынужденных колебаний, создаваемых отдельными возмущающими силами, возможность представления свободных колебаний системы, имеющей несколько степеней свободы в виде суммы главных колебаний. Все эти свойства являются следствием линейности тех дифференциальных уравнений, которыми описывается движение.
Для колебаний конечной амплитуды эти уравнения уже нелинейны, и ни одно из указанных свойств не имеет места. 

Вместе с тем нелинейность уравнений в величайшей степени затрудняет возможность решения задачи. Основные вехи строгого подхода к проблеме нелинейных колебаний намечены в классическом сочинении Ляпунова А. М. «Общая задача об устойчивости движения» (1892 год, переиздано в 1930 году) и в трудах А. Пуанкаре (1854-1912 годы).

В последней работе Пуанкаре дал методы «качественного исследования» характера решений дифференциальных уравнений, позволяющие предвидеть некоторые общие свойства этих решений без фактического их нахождения.

В начале 20 века и для наиболее простых случаев эти методы были успешно использованы для решения некоторых технических задач (Андронов, Мандельштам и другие). В других же случаях для решения задач о нелинейных колебаниях, возникающих в технике, пользуются математическими, далеко не безупречными, решениями, проверяя полученные выводы экспериментально. Из технически наиболее важных задач о нелинейных колебаниях следует упомянуть задачу о вынужденных колебаниях при наличии нелинейных восстанавливающих сил, задачу о вынужденных и свободных колебаниях при наличии сил трения и сил сопротивления, пропорциональных некоторой степени скорости и другие.

Решение первой из этих задач (весьма несовершенное математически) было дано в 1918 году Дюффингом и дало объяснение явлению «срыва амплитуд» при некоторых частотах возмущения. Количественный метод, применяемый для исследования колебательных процессов при нелинейно зависящих от скорости силах сопротивления, принадлежит Ван-дер-Полю.

Методы решения задач о колебаниях линейных систем с периодически изменяющимися с течением времени параметрами (квазигармоничные колебания) также были разработаны в астрономии (Эйлер, Гилл, Пуанкаре, Ляпунов) прежде чем техническая практика поставила эти задачи в механике. 
Наиболее характерной чертой колебательных процессов этого рода является возможность так называемого параметрического резонанса. Резонанс (точнее говоря, возможность потери устойчивости движения) здесь может иметь место не как следствие внешнего возбуждения, а при значениях параметров самой системы, лежащих в определенных областях (параметрический резонанс).

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Прокомментировать
Ваш комментарий:
Введите два слова, показанных на изображении:*

Пишите письма

Теория — это когда все известно, но ничего не работает. Практика — это когда все работает, но никто не знает почему. Мы же объединяем теорию и практику: ничего не работает и никто не знает почему!

Регистрация